системы линейных уравнений пример

Метод Гаусса Рассмотрим систему линейных уравнений PМетод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразованийP над расширенной матрицей система Pприводится к «ступенчатому» виду. Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.При реализации прямого хода метода Гаусса возможны следующие три случая.1. В результате преобразований в системе уравнений будет получено уравнение вида Pгде PЯсно, что никакой набор действительных чисел этому уравнению удовлетворять не может, поэтому в таком случае система уравнений несовместна.2. В результате преобразований получится ступенчатая система уравнений в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.PPPPP В этом случае система уравнений является определённой.В результате преобразований получится система уравнений ступенчатого вида, в которой количество неизвестных больше числа уравнений системы ( )В этом случае те неизвестные, которые стоят на «ступеньках», называются главными неизвестными ( ), а другие неизвестные называются свободными ( ); система уравнений будет неопределённой. Тогда обратный ход метода Гаусса состоит в том, что начиная с последнего уравнения системы, главные неизвестные выражаются через свободные и составляется общее решение системы уравнений. Для того чтобы получить какое-либо частное решение системы, свободным неизвестным придают конкретные числовые значени

5. Системы линейных уравнений и методы их решения Определение 5.1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными Pназывается система S вида,PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP где Pкоэффициенты при неизвестных, Pсвободные члены ( , Pзаданные числа).Определение 5.2. Решением системы Pназывается упорядоченный набор действительных чисел , при подстановке которых в каждое уравнение системы вместо Pсоответственно будут получены верные числовые равенства.Определение 5.3. Система Pназывается совместной (несовместной), если она имеет хотя бы одно решение (не имеет решений).Определение 5.4. Совместная система Pлинейных алгебраических уравнений называется определённой (неопределённой), если она имеет единственное решение (множество решений).Определение 5.5.P Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы :Матрицаназывается расширенной матрицей этойP системы.Замечание. Система Pможет быть переписана в так называемом матричном виде:где Pвектор-столбец свободных членов системы.Определение 5.6. Если все свободные члены системы уравнений равны нулю, то такая система называется однородной, если же хотя бы один свободный член отличен от нуля, система называется неоднородной.Теорема 5.1. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы равен нулю.Определение 5.7. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют следующие операции: 1) сложение обеих частей одного уравнения с соответствующими частями другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю;2) перестановка уравнений местами;3) удаление из системы уравнений, являющихся тождествами.Рассмотрим основные методы решения систем линейных уравнений.